Интегрирование по частям — как выбрать функцию u для успешных вычислений

Интегрирование по частям — это один из основных методов решения определенных интегралов. Он используется для интегрирования произведения двух функций. Этот метод основан на обратной формуле дифференцирования — правиле производной произведения.

Основная идея интегрирования по частям заключается в том, что если есть функции u(x) и v(x), то интеграл их произведения ∫u(x)v'(x)dx равен u(x)v(x) — ∫v(x)u'(x)dx. Здесь u'(x) и v'(x) обозначают производные функций u(x) и v(x) соответственно.

Для применения этого метода необходимо выбрать две функции u(x) и v(x), такие, что производная одной из них, скажем u'(x), будет проще для вычисления, чем исходная функция u(x), и наоборот. Таким образом, интегрирование по частям позволяет заменить сложное интегрирование на более простое дифференцирование.

Приведем пример использования интегрирования по частям. Пусть необходимо найти интеграл от функции f(x) = x * ln(x). Для этого выберем u(x) = ln(x) и v'(x) = x, тогда u'(x) = 1/x и v(x) = x^2/2.

Основные правила интегрирования по частям

Основные правила интегрирования по частям:

  1. Выбрать две функции: одну для дифференцирования и другую для интегрирования.
  2. Применить формулу интегрирования по частям: ∫(u * v) dx = u * ∫v dx — ∫(u’ * ∫v dx) dx, где u — функция для дифференцирования, v — функция для интегрирования, u’ — производная функции u.
  3. Получить упрощенное выражение для интеграла, если возможно.

Пример использования интегрирования по частям:

Дано: ∫x * sin(x) dx

  1. Выбираем u = x (дифференцируемый множитель) и dv = sin(x) dx (интегрируемый множитель).
  2. Находим производную функции u: du = dx.
  3. Интегрируем функцию dv: v = -cos(x).
  4. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫(x * sin(x)) dx = -x * cos(x) + ∫cos(x) dx.
  5. Упрощаем полученное выражение: ∫x * sin(x) dx = -x * cos(x) + sin(x) + C, где C — постоянная интегрирования.

Таким образом, интегрирование по частям позволяет упростить процесс нахождения интегралов, особенно когда одна из функций может быть удобно дифференцирована, а другая — интегрирована.

Правило 1: Разделение функциональности

Правило 1 гласит, что при интегрировании функции, состоящей из произведения двух функций, необходимо выбрать одну функцию для дифференцирования и вторую – для интегрирования. Такое разделение позволяет сосредоточиться на интегрировании одной части и упростить вычисления.

При выборе функций для разделения функциональности полезно использовать правила выбора, такие как:

  • Выбрать функцию, которая содержит некоторые элементарные функции или степенную функцию;
  • Выбрать функцию, которая дифференцируется просто;
  • Выбрать функцию, которую можно легко интегрировать.

Применение правила разделения функциональности позволяет упростить процесс интегрирования по частям и получить более легкий для вычисления интеграл.

Правило 2: Подготовка данных

Прежде чем приступить к интегрированию по частям, необходимо провести подготовку данных. Этот этап включает в себя выбор функции для дифференцирования и области, над которой будет производиться интегрирование.

Выбор функции для дифференцирования основан на стратегическом подходе к решению интеграла. Часто выбирают функцию, которая дифференцируется более простым способом, чем исходная функция. Например, если исходная функция содержит произведение двух функций, можно выбрать одну из них для дифференцирования.

Область интегрирования также является важной частью подготовки данных. Необходимо определить, на каком промежутке будет производиться интегрирование, а также учесть особенности исходной функции в этой области. Иногда интегрирование может быть затруднено из-за разрывов или особых точек на выбранной области.

Подготовка данных помогает создать план для решения интеграла. Она позволяет выбрать наиболее эффективный путь интегрирования и предварительно просчитать возможные трудности на пути.

ПримерПодготовка данных
Интеграл от до 0 от функции ln(x)
  • Выбор функции для дифференцирования: в данном случае можно выбрать функцию u = ln(x), так как ее производная du = dx / x более простая.
  • Выбор области интегрирования: в данном случае область от до 0 является сложной, поэтому будет удобно интегрировать от 0 до и затем сменить знак результата.

Примеры решений интегрирования по частям

Вот несколько примеров решений задач по интегрированию по частям:

  1. Вычисление интеграла: ∫ x * e^x dx.

    Решение:

    • Выберем первую функцию u = x и дифференцируем ее: du = dx.
    • Выберем вторую функцию dv = e^x dx и проинтегрируем ее: v = ∫ e^x dx = e^x.
    • Используем формулу интегрирования по частям: ∫ u dv = uv — ∫ v du.
    • Подставим значения u, v, du и dv в формулу: ∫ x * e^x dx = x * e^x — ∫ e^x dx.
    • Выполним последний шаг интегрирования: ∫ x * e^x dx = x * e^x — e^x + C, где C — произвольная постоянная.
  2. Вычисление интеграла: ∫ ln(x) dx.

    Решение:

    • Выберем первую функцию u = ln(x) и дифференцируем ее: du = (1/x) dx.
    • Выберем вторую функцию dv = dx и проинтегрируем ее: v = ∫ dx = x.
    • Используем формулу интегрирования по частям: ∫ u dv = uv — ∫ v du.
    • Подставим значения u, v, du и dv в формулу: ∫ ln(x) dx = x * ln(x) — ∫ x * (1/x) dx.
    • Выполним последний шаг интегрирования: ∫ ln(x) dx = x * ln(x) — ∫ dx = x * ln(x) — x + C, где C — произвольная постоянная.
  3. Вычисление интеграла: ∫ cos(x) dx.

    Решение:

    • Выберем первую функцию u = cos(x) и дифференцируем ее: du = -sin(x) dx.
    • Выберем вторую функцию dv = dx и проинтегрируем ее: v = ∫ dx = x.
    • Используем формулу интегрирования по частям: ∫ u dv = uv — ∫ v du.
    • Подставим значения u, v, du и dv в формулу: ∫ cos(x) dx = x * cos(x) — ∫ x * (-sin(x)) dx.
    • Выполним последний шаг интегрирования: ∫ cos(x) dx = x * cos(x) + ∫ x * sin(x) dx + C, где C — произвольная постоянная.

Таким образом, интегрирование па частям является мощным инструментом для вычисления интегралов сложных функций, позволяющим свести их к проще формам и найти точное значение интеграла.

Оцените статью